В английском языке выбор между "do" и "does" зависит от подлежащего (субъекта) в предложении. В данном случае подлежащее — это "dogs" (собаки).
"Do" используется с подлежащими во множественном числе и с местоимениями "I", "you", "we", "they".
"Does" используется с подлежащими в единственном числе и с местоимениями "he", "she", "it".
Поскольку "dogs" — это существительное во множественном числе, правильный выбор — "do".
Таким образом, правильный вариант предложения будет:
"Why do dogs hate cats?"
В этом предложении "dogs" — это подлежащее во множественном числе, поэтому используется вспомогательный глагол "do".